因数分解の秘密

中学校で習う因数分解。あれって不思議ですよね。6を2×3の形にするのが素因数分解。文字式なら、cをa×bにするのかと思いきや、なぜかいきなり(x+a)や(a+b)という足し算の形が出てくる。式をかけ算の形にしようといいながらなぜ足し算が出てくるのか?

 

そもそも、なぜかけ算の形にするかと言われたら、それは因数分解の次にする、2次方程式や2次関数まで進まないとそのありがたみも分からないのだけど。それはおいといて。

 

因数分解で最初にするのは、共通因数でくくること、たとえば、ab+acをa(b+c)と書き直すことができる。でも、それとx^2+2x+1を(x+1)^2にするのは何か違うことをやっているような気がしませんか?(^2は2乗の記号)

 

a(b+c)も(x+1)^2も確かにかけ算の形にはなっている。でも、最初のはすべての項に共通な因数をくくりだしているのだからかけ算の形になるのは当然。でも、二番目のは公式を使っていると分かっていても、すべての項に共通な因数がないのになぜかけ算の形にできるのでしょうか?

 

ここでac+ad+bc+cdを公式を使わないで因数分解するときのことを考えてみましょう。まずは、aの付いている項をくくってa(c+d)+bc+cdとなり、さらに、残りの項をcでくくればa(c+d)+b(c+d)になります。

 

全体をさらに(c+d)でくくって(a+b)(c+d)になります。

 

大事なのは最後のところです。全体を(c+d)でくくれるとは、aもbも(c+d)を共通因数に持つということなのです。さらに同じように考えるとcもdも実は(a+b)を共通因数に持っているということだったのです。

 

つまり、ab+acの場合には、bやcという個々の文字が共通因数を持っていたのに対して、(x+1)^2や(a+b)(c+d)の場合にはx+1やa+bが共通因数を持っていると考えられるのです。

 

以上のことから最初の問いであった因数分解で足し算の因数が出てくる理由も分かります。二つが同列に出てくるのは気持ち悪いかもしれませんが、本当は数を表しているので、一文字の因数と同じことなのです。たとえば、4も2+2も数学的には同じ数を表していますよね。これと同じことなんですね。

 

 

 

 

二桁でわるわり算の壁

わり算の筆算でつまずく生徒が意外に多いって知っていますか。

しかも一桁で割る方はできても、二桁で割る方ができないのです。

わり算の筆算って大人になったらそれほど使わないので忘れているかもしれませんが、その計算の中で何度もかけ算のひっさんが出てくるのです。

 

たとえば、625÷25をするときは、まず商の十の位に2をたてて、25×2を計算して50、それを62から引いて・・・というように各位に商を立てるたびにかけ算をしなくてはなりません。

 

  _______ 

25)625

 

   50

 

しかも、商を立てるときに割られる数を超えないように大体の見通しを立てるのですが、ここは大まかなかけ算を暗算でするという能力も必要になります。さらには、この見通しが、暗算がそこそこできる人でもまちがっていることがあるので、そうするともう一度かけ算をしなくてはなりません。

 

というように、慣れれば単純に見えるわり算の中で、生徒はかけ算の暗算と筆算が何度もしなくてはならなのです。これは、計算が苦手な生徒からしたら地獄です。

 

言い換えれば、二桁で割るわり算の筆算ができるようになるためには、二桁×一桁がすらすらとできていないいけないのです。わり算の筆算ができない子どもがいる場合、この点に気をつけてください。

 

子どもの発達段階の視点から見ると、二桁×一桁のかけ算が十分できるようになったら、二桁ので割るわり算の筆算に取りかかれるかなと考えてください。それができる前に取りかかっても、無駄に時間と労力を浪費しますし、子どもが勉強嫌いになるのは確実です。

 

 

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英検ライティングの対策

・英検リーディングとライティングの違い

 

英検の申し込みも締め切られ、そろそろ6月の英検の準備を本格的に始めている人も多いのではないでしょうか。

 

何となく勉強を始めて5級、4級と順調に進んできた方も、3級以上で出てくるライティングに不安を覚えている人も多いのではないでしょうか。

 

でも、恐れる必要はありません。英検の問題集や過去問に出てくる答えを見れば分かりますが、とっても簡単な英語で書かれています。

 

3級のリーディングで合格点が取れる人であれば、ライティングに出てくる単語や文法で知らないものはほとんどないのではないでしょうか。これは、準2級以上でも同じです。

 

つまり、英検3級のリーディングとライティングで必要とされる、単語や文法はまったく異なるのです。

 

 

・英検ライティングの勉強法

 

では、リーディングができればライティングができるかというと、もちろん、そんなことはありません。

 

インプットで使える単語や文法でも、アウトプットで使えるとは限らないからです。

 

それでは、ライティングの勉強はどのようにすればいいのでしょうか。それは、

 

一つ下の級の単語や文法を完璧にすること

 

 

 

なのです!

 

たとえば、英検4級に受かるためには、4級の英単語を見てそれを日本語に訳せれば受かります。日本語を英語にする必要はありません。しかも、英検では80点90点という高得点をとる必要はないので、4級の英単語集の7割ぐらい覚えておけば、十分受かる可能性があるのです。

 

でも、その調子で3級以上に挑んでも、4級の英単語集で、日本語から英語に、しかもほぼ完璧にできるようになっていないとライティングはつらいです。

 

これが、3級以上のライティングで受験生がおかしがちな間違いです。4級までと同じように3級の単語集をなんとなくこなしているだけではだめなのです。

 

そうではなくて、3級なら4級、準2級なら3級の単語集の、特に日本語から英語への変換がすらすらできることが必要なのです。文法や構文の勉強でも同じです。

 

これが、英検ライティングの勉強の秘訣です!

中学三年生の夏休み大作戦その2(まだ間に合う)

あっという間に夏休みも半分終わってしまいました。

 

でも、あまり悲観しないでください!まだ、半分残っています!!!

さて、夏休み大作戦その1からもう1年がたちましたがショック!、今回は残った夏休みに何を勉強すればいいのかについてお話ししたいと思います。

中学3年生だから、1・2年の復習?確かに復習は大事です。でも、英数国理社すべての復習をたった40日で行うのはほぼ不可能です。ましてや、これからの残り半分でできることはかなり限られています。

では、復習の中でも何に重点的に手をつければいいのか。高校入試、特に都立高校入試では1,2学期の内申点が重要になってきますから、今からでも間に合う二学期の定期試験に関わってくる範囲です。

特に三年生の数学では二学期は、二次方程式の続き、および二次関数(y=ax^2 2乗)の単元になります。そうすると、これまでの範囲では、式の展開・因数分解・根号が特に重要になります。そして、この内容をきちんと理解するためには、1・2年生の範囲の文字式・一次方程式・比例反比例・一次関数が重要となってきます。

逆に、夏休みにすべきではないのは、図形や統計分野の復習です。もちろん、上記の範囲の復習・先取り学習を終わった人は別ですが。あと、意外と思われるかもしれませんが、連立方程式も二次方程式や二次関数には関わってきませんので、まずは一次関数や一次・二次方程式の復習をしましょう。

もちろん、模擬試験では一・二年の範囲が出題されますが、今時点の模擬試験は自分の苦手範囲を把握したり、模擬試験になれることが主眼なので、特に苦手教科に関してはあまり全部の範囲で得点を挙げようとしないほうがいいでしょう。11月・12月の模擬試験を目標に勉強しましょう。

では、1・2年の人についてはどうでしょうか。2年生の場合には模擬試験もありませんから、ますます定期試験が重要になります。2年生の人は、方程式・連立方程式や比例反比例の復習おおよび一次関数の先取り・、1年生は方程式に向け計算と文字式を徹底的に練習して方程式に備えましょう。

 

西高や日比谷・戸山などのグループ作成校を受ける人はどうでしょう?その場合でも、都立であるのは同じで大きく作戦は変わりません。

 

グループ作成校を受けるような人は、夏休みの時点で英数の一・二年の基本的な内容は身についているのが通常でしょうが、さらに難易度の高い問題に取り組む場合には、一次関数や文字式から二次方程式の内容を徹底的に演習する(そうすれば二学期の試験で100点あるいはそれに近い点数も夢ではありません)のが合格への近道です。

 

この辺は、下手にカリキュラムの大ざっぱな大手の受験塾に行ってしまうと、却って遠回りになることがあるので注意しましょう。

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幾何の作図はお絵かきではなく○○○である

 


3学期は多くの中学校で図形分野が試験の範囲に入っています.


図形って単に体積を求めたり,面積を出したりとは違って

奇妙な問題が二つあります.


一つは証明問題


もう一つは…


そう作図問題です.


いったい作図って何なのでしょうか?


まず初めに言えることは,作図はお絵かきではありません.

どういうことでしょうか?


お絵かきが,美術の一種だと考えると


美しいこと,

きれいなこと,

あるいは,かわいいこと…


例えば,こういう条件を満たしているのが良い絵と言えるかも知れません.


少なくとも中学校の美術の時間だとそういう絵は評価されるでしょう.


でも,幾何の作図が美しかったり,きれいであったり,かわいかったりしても

それで直接テストの点数が上がることはありません.

先生の印象点は上がるかも知れませんけどね.


では,幾何の作図に求められるのはなんでしょうか.


精確さ!?


ブブー 残念ながら違います.


よく幾何の作図で誤った説明を見かけるときがあります.

たとえば,プラスティック製の定規や分度器の目盛りは精確ではない

だから幾何の作図には使えないのだと


でも,中学生が使うコンパスやえんぴつはそんなに精確でしょうか?

一般的に定規の目盛りの方がえんぴつの線よりも細くて精確です.


一体では幾何の作図とは何なのでしょうか?


それは…


ゲームです.


でも,もちろん,携帯ゲームやテレビゲームとは違います.


どちらかといえば,囲碁や将棋や,もしかするとサッカーや野球にも

近いかも知れません.


どういうことでしょうか?


それは,あるルールに従って目標を達成するということです.


サッカーなら手を使わないで,相手のゴールにボールを運ぶ

野球なら相手が投げたボールをバットで打って

相手がボールを返す前にホームまでランナーを進める(難しい…!)


囲碁や将棋なら,ルールに従って

できるだけたくさんの陣地をとる相手の王将をとる


このようにルールに従って目標を達成するゲームが幾何の作図です.


では,(中学校)幾何におけるルールとは何か?

とてもシンプルです.


1)定規は直線(線分)を引く(ことにのみ使える)

2)コンパスは円(円弧)を描く


簡単に言えば,この二つだけです.


もう少し難しいことを補足すると

(中学幾何の範囲ですがここは難しければ無視してください),

a)点はあらかじめ与えられているか,直線や円の交点である

b)直線(線分)とは,2点を結ぶ(通る)

c)円(円弧)とは,ある点から等距離にある点の集合(!)である

この三つの決まりによって直線や円,点といったものの概念が規定されているのです.



そしてそのルールに従って垂直二等分線を描いたり,角の二等分をするなどの

目標を達成するわけです.


したがって,少々汚い作図であってもこの目標が達成されていれば成功であるし,

逆にどんなに美しい作図であっても,この目標が達成されていなければ失敗なのですね



それでは,定期試験がまだ終わっていない人は頑張ってください.


この記事を読んで点数が上がるかどうかは保証できません.

(だって,ゴールをあげるのはあなたですから)


でも,少しはもやもやが晴れたのではないでしょうか.